我正在使用渐近最后版本1.12计算矩阵的特征值:
from sympy import Matrix
M = Matrix( [[0, 1.0, 0, 1.0], [1.0, 0, -0.50, 0], [0, 1.0, 0, -1.0], [-0.50, 0, 1.0, 0]])
M.eigenvals()
假设M是实数，则本征值应该出现在共轭对中，但我得到以下输出:
{3.49869741491636e-64 - 1.35013912450988*I: 1, -0.907124939317785 + 3.82549612092643e-64*I: 1, 0.907124939317785 + 9.90959643144198e-65*I: 1, 1.35013912450988*I: 1}
这是一个精度问题，还是有什么我没有考虑到的？
除了有小的浮点误差外，本征值都是复数共轭对:
3.49869741491636e-64 - 1.35013912450988*I
-0.907124939317785 + 3.82549612092643e-64*I
0.907124939317785 + 9.90959643144198e-65*I
1.35013912450988*I
你应该认为e-64的微小数字基本上就是零，这意味着这里的本征值实际上是:
-1.35013912450988*I
-0.907124939317785
0.907124939317785
1.35013912450988*I
所以这里的第二个和第三个值是实数，第一个和第四个是虚数复数共轭对.
计算是近似的原因是因为您使用的是浮点数矩阵.如果你使用精确有理数，那么你可以得到特征值的精确表示:
In [6]: M
Out[6]:
⎡ 0 1.0 0 1.0 ⎤
⎢ ⎥
⎢1.0 0 -0.5 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 1.0 0 -1.0⎥
⎢ ⎥
⎣-0.5 0 1.0 0 ⎦
In [7]: M.applyfunc(nsimplify)
Out[7]:
⎡ 0 1 0 1 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 1 0 -1/2 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 1 0 -1⎥
⎢ ⎥
⎣-1/2 0 1 0 ⎦
In [8]: M.applyfunc(nsimplify).eigenvals()
Out[8]:
⎧ ________ ________ __________ __________ ⎫
⎪ ╱ 1 √7 ╱ 1 √7 ╱ 1 √7 ╱ 1 √7 ⎪
⎨-ⅈ⋅ ╱ ─ + ── : 1, ⅈ⋅ ╱ ─ + ── : 1, - ╱ - ─ + ── : 1, ╱ - ─ + ── : 1⎬
⎪ ╲╱ 2 2 ╲╱ 2 2 ╲╱ 2 2 ╲╱ 2 2 ⎪
⎩ ⎭
如果您准确地计算特征值，则可以在没有微小舍入误差的情况下对它们进行数值计算:
In [15]: [r.n() for r in M.applyfunc(nsimplify).eigenvals()]
Out[15]: [-1.35013912450988⋅ⅈ, 1.35013912450988⋅ⅈ, -0.907124939317785, 0.907124939317785]