Python 不同维度上的两个二维数组的微积分

TLDR:参见hpaulj's comment.

你说得对，广播才是解决之道！事实上，您对重复数组的可视化表示正是numpy guide on broadcasting可视化该技术的方式.

在您的例子中，假设您从两个数组A和B开始(我已经从您美丽的视觉效果中解释了它们):

A.shape == (500, M, 1)
B.shape == (500, N, 1)

并且您的输出C应该具有以下形状:

C.shape == (M, N, 500)

也就是说，我们应该从A(其中M个)中每个长度500个子数组中减go B(其中有N个)中每个长度500个子array.

为了完成您的用例，我们希望数组A"重复"或"堆叠"或"广播"N次，数组B被"重复"或"堆叠"或"广播"M次.广播规则规定，在两个数组之间的某些计算中，数组的形状是右对齐的，并且任何大小为1的轴被广播为与另一个数组中的轴的长度相同.在上面的链接指南中有更多信息.

从这个意义上说:

shape (M, 1, 500) with
shape (1, N, 500)
================= would broadcast to
shape (M, N, 500)

这完全符合要求！

因此，我们只需要对输入数组的轴进行"改组"、"置换"、"重新排序"或"转置"(所有我听说过的对数组轴进行重新排序的术语)，就可以将输入数组的轴传播到所需的形状.您可以在NumPy中使用np.ndarray.transpose来做到这一点.举个例子:

>>> M, N = 300, 100
>>> A = np.random.rand(500, M, 1)
>>> B = np.random.rand(500, N, 1)

>>> A.shape
(500, 300, 1)
>>> A.transpose(1, 2, 0).shape
(300, 1, 500)
>>> B.shape
(500, 100, 1)
>>> B.transpose(2, 1, 0).shape
(1, 100, 500)

将它们放在一段代码中:

import numpy as np

M, N = 300, 100
A = np.random.rand(500, M, 1)
B = np.random.rand(500, N, 1)

C = A.transpose(1, 2, 0) - B.transpose(2, 1, 0)
# C.shape == (M, N, 500)

需要注意的一点是，存储没有任何大小为1的轴的数组，并且仅在广播需要时才引入它们的情况要常见得多.例如，您可以从以下位置开始:

A.shape == (M, 500)
B.shape == (N, 500)

在我看来，这是存储数据最自然的方式.现在，为了方便广播，你必须自己介绍尺寸为1的轴.这样做的方式是，在数组A和B之间，大小500的轴对齐，而大小M和N的轴与新的大小1的轴对齐.

Numpy提供了多种方法来实现这一点，比如Via np.expand_dims甚至np.reshape，但最流行的方法(尤其是在我看来用于促进广播的时候)是用np.newaxis或等价的None来索引.indexing guide中对此行为进行了描述.

然后，您的代码可能如下所示:

import numpy as np

M, N = 300, 100
A = np.random.rand(M, 500)
B = np.random.rand(N, 500)

C = A[:, None, :] - B[None, :, :]
# A[:, None, :].shape == (M, 1, 500)
# B[None, :, :].shape == (1, N, 500)
# C.shape == (M, N, 500)

在我看来，这似乎是C的最自然的轴排序，但当然，您可以在之后使用C = C.transpose(...)重新排序C的轴.