我有一个二维高斯函数f(x,y).我知道函数的峰值g₀所在的值x₀和y₀.但是我想找出xₑ和yₑ的值.我知道有多种解决方案，但至少有一个就足够了.
到目前为止，我已经
def f(x, y, g0,x0,y0,sigma_x,sigma_y,offset):
return offset + g0* np.exp(-(((x-x0)**(2)/(2*sigma_x**(2))) + ((y-y0)**(2)/(2*sigma_y**(2)))))
All variables taken as parameters are known个，因为它们是从曲线拟合中提取出来的.
我明白，取x的导数，设置f() = 0，类似地，取y的导数，得到(x,y)的可解线性系统，但这似乎有点过分，手动实现，一定有一些库或工具可以实现我正在try 实现的目标？
有无限多的可能性(或者可能是1个微不足道的可能性，或者在关于值g0的特殊情况下没有).使用直接方法，解决方案可以是computed analytically in constant time.不需要近似或迭代方法来寻找给定函数的根.这只是一个纯粹的数学问题.
高斯核有有趣的symmetries.其中之一是峰值平移到(0,0)时的旋转不变性.另一个原因是，二维高斯曲面的一维截面是一条高斯曲线.
让我们暂时忽略offset:它并没有真正改变问题(它只是一个Z轴平移)，并为分辨率添加了额外的无用术语.
IS问题的几何解是ellipse，因此解(xe, ye)遵循conic expression:(xe-x0)² / a² + (ye-y0)² / b² = 1.如果为sigma_x = sigma_y，则解决方案更简单:这是一个具有表达式(xe-x0)² + (ye-y0)² = r的圆.注意，a、b和r依赖于搜索值和核参数(例如，sigma_x).改变sigma_x和sigma_y就像拉长了空间，所以解决方案也是一样的.改变x0和y0就像是转换空间，所以解决方案也是如此.
事实上，我们可以解决更简单的情况，即x0=0、y0=0、sigma_x=1和sigma_y=1.然后我们可以应用平移，然后使用变换矩阵进行线性变换.基本的乘法4x4矩阵就可以做到这一点.由于需要考虑的参数较少，因此解决较简单的情况要容易得多.实际上，g0和offset也可以从f中go 掉一部分，因为它在表达式的两边，我们只需要解线性方程offset + g0 * h(xe,ye) = g0 / e，所以h(x,y) = 1 / e - offset / g0，其中h(xe, ye) = exp(-(xe² + ye²)/2).假设我们暂时忘记平移和线性变换，这个问题就可以很容易地解决:
h(xe, ye) = 1 / e - offset / g0
exp(-(xe² + ye²)/2) = 1 / e - offset / g0
-(xe² + ye²)/2 = ln(1 / e - offset / g0)
xe² + ye² = -2 * ln(1 / e - offset / g0)
就这样!我们得到了半径r是-2*ln(1 / e - offset / g0)的圆的表达式！请注意，表达式中的ln基本上是自然对数.
现在我们可以试着找出4x4矩阵系数，或者实际上试着直接求解完整的表达式，这最终不是那么困难.
offset + g0 * exp(-((x-x0)²/(2*sigma_x²) + (y-y0)²/(2*sigma_y²))) = g0 / e
exp(-((x-x0)²/(2*sigma_x²) + (y-y0)²/(2*sigma_y²))) = 1 / e - offset / g0
-((x-x0)²/(2*sigma_x²) + (y-y0)²/(2*sigma_y²)) = ln(1 / e - offset / g0)
((x-x0)²/sigma_x² + (y-y0)²/sigma_y²)/2 = -ln(1 / e - offset / g0)
(x-x0)²/sigma_x² + (y-y0)²/sigma_y² = -2 * ln(1 / e - offset / g0)
就这样!我们得到了二次曲线表达式，其中r = -2 * ln(1 / e - offset / g0)是一个常数，a = sigma_x和b = sigma_y是上面表达式中的未知参数.它可以用a = sigma_x/sqrt(r)和b = sigma_y/sqrt(r)来归一化，所以右边是1，正好符合上面的表达式，但这只是一些数学细节.
你可以很容易地找到椭圆的一点，因为你知道椭圆(x0, y0)的中心，并且在y=y0直线和上面的圆锥表达式的交点处至少有一个点.让我们找到它:
(x-x0)²/sigma_x² + (y0-y0)²/sigma_y² = -2 * ln(1 / e - offset / g0)
(x-x0)²/sigma_x² = -2 * ln(1 / e - offset / g0)
(x-x0)² = -2 * ln(1 / e - offset / g0) * sigma_x²
x = sqrt(-2 * ln(1 / e - offset / g0) * sigma_x²) + x0
请注意，有两个解决方案(-sqrt(...) + x0)，但您只需要其中一个.我希望我在计算中没有犯任何错误(至少细节应该足以很容易地找到它)，在您的情况下，解决方案不是一个复数.这个解决方案的好处是它是very very fast to compute.
The final solution is:
(xe, ye) = (sqrt(-2*ln(1/e-offset/g0)*sigma_x²)+x0, y0)