MATLAB提供了 diff 命令来计算符号导数,以最简单的形式,将要区分的函数作为参数传递给diff命令。
例如,让我们计算函数f(t)= 3t 2 + 2t -2 的导数
创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-
syms t f=3*t^2 + 2*t^(-2); diff(f)
编译并执行上述代码后,将产生以下输出-
ans = 6*t - 4/t^3
以下是上述计算的等效-
pkg load symbolic symbols t=sym("t"); f=3*t^2 + 2*t^(-2); differentiate(f,t)
执行代码并返回以下输出-
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ans = -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t
让我们简要说明各种方程或规则以区分函数,并验证这些规则,为此,我们将为一阶导数写f'(x),为二阶导数写f"(x)。
以下是区分规则-
对于任何函数f和g以及任何实数a和b是该函数的导数-
关于x的 h(x)= af(x)+ bg(x)由-
h'(x)=关闭'(x)+ bg'(x)
sum 和减法规则指出,如果f和g是两个函数,则f'和g'分别是它们的导数,则,
( f + g)'= f'+ g'
(f-g)'= f'-g'
product 规则指出,如果f和g是两个函数,则f'和g'分别是它们的导数,则,
(f.g)'= f'.g + g'.f
quotient 规则指出,如果f和g是两个函数,则f'和g'分别是它们的导数,则,
(f/g)'=(f'.g-g'.f)/g 2
多项式或基本幂规则规定,如果 y=f(x)= x n ,则 f'= n。 x (n-1)
该规则的直接输出是任何常数的导数为零,即,如果 y=k ,则任何常数,则
f'= 0
chain 规则规定,相对于x,函数 h(x)= f(g(x))的函数导数是,
h'(x)= f'(g(x))。g'(x)
创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-
syms x syms t f=(x + 2)*(x^2 + 3) der1=diff(f) f=(t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3) der2=diff(f) f=(x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) der3=diff(f) f=(2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) der4=diff(f) f=(x^2 + 1)^17 der5=diff(f) f=(t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) der6=diff(f)
运行文件时,MATLAB显示以下输出-
f = (x^2 + 3)*(x + 2) der1 = 2*x*(x + 2) + x^2 + 3 f = (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3) der2 = (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3) f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) der3 = (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1) f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) der4 = (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2 f = (x^2 + 1)^17 der5 = 34*x*(x^2 + 1)^16 f = 1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6 der6 = -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7
以下是上述计算的等效-
pkg load symbolic symbols x=sym("x"); t=sym("t"); f=(x + 2)*(x^2 + 3) der1=differentiate(f,x) f=(t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) der2=differentiate(f,t) f=(x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) der3=differentiate(f,x) f=(2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) der4=differentiate(f,x) f=(x^2 + 1)^17 der5=differentiate(f,x) f=(t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) der6=differentiate(f,t)
执行代码并返回以下输出-
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f = (2.0+x)*(3.0+x^(2.0)) der1 = 3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x f = (t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0)) der2 = (2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0)) f = (1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0)) der3 = (-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x) f = (1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x) der4 = (1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x) f = (1.0+x^(2.0))^(17.0) der5 = (34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x f = (-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0) der6 = -(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)
下表提供了常用的指数,对数和三角函数的导数-
函数 | 衍生工具 |
---|---|
c a.x | c a.x .ln c.a(ln是自然对数) |
e x | e x |
ln x | 1/x |
ln c x | 1/x.ln c |
x x | x x .(1 + ln x) |
sin(x) | cos(x) |
cos(x) | -sin(x) |
tan(x) | sec 2 (x)或1/cos 2 (x)或1 + tan 2 (x) |
cot(x) | -csc 2 (x)或-1/sin 2 (x)或-(1 + cot 2 (x )) |
sec(x) | sec(x).tan(x) |
csc(x) | -csc(x).cot(x) |
创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-
syms x y=exp(x) diff(y) y=x^9 diff(y) y=sin(x) diff(y) y=tan(x) diff(y) y=cos(x) diff(y) y=log(x) diff(y) y=log10(x) diff(y) y=sin(x)^2 diff(y) y=cos(3*x^2 + 2*x + 1) diff(y) y=exp(x)/sin(x) diff(y)
运行文件时,MATLAB显示以下输出-
y = exp(x) ans = exp(x) y = x^9 ans = 9*x^8 y = sin(x) ans = cos(x) y = tan(x) ans = tan(x)^2 + 1 y = cos(x) ans = -sin(x) y = log(x) ans = 1/x y = log(x)/log(10) ans = 1/(x*log(10)) y = sin(x)^2 ans = 2*cos(x)*sin(x) y = cos(3*x^2 + 2*x + 1) ans = -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2) y = exp(x)/sin(x) ans = exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2
以下是上述计算的等效-
pkg load symbolic symbols x=sym("x"); y=Exp(x) differentiate(y,x) y=x^9 differentiate(y,x) y=Sin(x) differentiate(y,x) y=Tan(x) differentiate(y,x) y=Cos(x) differentiate(y,x) y=Log(x) differentiate(y,x) % symbolic packages does not have this support %y=Log10(x) %differentiate(y,x) y=Sin(x)^2 differentiate(y,x) y=Cos(3*x^2 + 2*x + 1) differentiate(y,x) y=Exp(x)/Sin(x) differentiate(y,x)
执行代码并返回以下输出-
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y = exp(x) ans = exp(x) y = x^(9.0) ans = (9.0)*x^(8.0) y = sin(x) ans = cos(x) y = tan(x) ans = 1+tan(x)^2 y = cos(x) ans = -sin(x) y = log(x) ans = x^(-1) y = sin(x)^(2.0) ans = (2.0)*sin(x)*cos(x) y = cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0)) ans = -(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0)) y = sin(x)^(-1)*exp(x) ans = sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)
为了计算函数f的高阶导数,我们使用语法 diff(f,n)。
让我们计算函数y=f(x)= x的二阶导数。e -3x
f=x*exp(-3*x); diff(f, 2)
MATLAB执行代码并返回以下输出-
ans = 9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)
以下是上述计算的等效-
pkg load symbolic symbols x=sym("x"); f=x*Exp(-3*x); differentiate(f, x, 2)
执行代码并返回以下输出-
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ans = (9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)
在这个例子中,让我们解决一个问题。假设函数 y=f(x)= 3 sin(x)+ 7 cos(5x),我们将必须找出方程 f" + f=-5cos(2x)是否成立。
创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-
syms x y=3*sin(x)+7*cos(5*x); % defining the function lhs=diff(y,2)+y; %evaluting the lhs of the equation rhs=-5*cos(2*x); %rhs of the equation if(isequal(lhs,rhs)) disp('Yes, the equation holds true'); else disp('No, the equation does not hold true'); end disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);
运行文件时,它显示以下输出-
No, the equation does not hold true Value of LHS is: -168*cos(5*x)
以下是上述计算的等效-
pkg load symbolic symbols x=sym("x"); y=3*Sin(x)+7*Cos(5*x); % defining the function lhs=differentiate(y, x, 2) + y; %evaluting the lhs of the equation rhs=-5*Cos(2*x); %rhs of the equation if(lhs == rhs) disp('Yes, the equation holds true'); else disp('No, the equation does not hold true'); end disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);
执行代码并返回以下输出-
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No, the equation does not hold true Value of LHS is: -(168.0)*cos((5.0)*x)
如果要搜索图形的局部最大值和最小值,则基本上是在函数图上特定位置或符号变量值的特定范围内寻找最高点或最低点。
对于函数y=f(x),图上具有零斜率的点称为静止点。换句话说,固定点是f'(x)= 0。
为了找到我们求微分的函数的平稳点,我们需要将导数设置为零并求解方程。
让我们找到函数f(x)= 2x 3 + 3x 2 - 12x + 17的固定点
采取以下步骤-
首先让我们输入函数并绘制其图。
syms x y=2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the function ezplot(y)
MATLAB执行代码并返回以下图表-
这是上述示例的等效代码-
pkg load symbolic symbols x=sym('x'); y=inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17"); ezplot(y) print -deps graph.eps
我们的目标是在图形上找到一些局部最大值和最小值,因此让我们在图形上的间隔[-2,2]中找到局部最大值和最小值。
syms x y=2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the function ezplot(y, [-2, 2])
MATLAB执行代码并返回以下图表-
这是上述示例的等效代码-
pkg load symbolic symbols x=sym('x'); y=inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17"); ezplot(y, [-2, 2]) print -deps graph.eps
接下来,让我们计算导数。
g=diff(y)
MATLAB执行代码并返回以下输出-
g = 6*x^2 + 6*x - 12
这是上述计算的倍频程-
pkg load symbolic symbols x=sym("x"); y=2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; g=differentiate(y,x)
执行代码并返回以下输出-
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g = -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)
让我们求解导数函数g,以获取变为零的值。
s=solve(g)
MATLAB执行代码并返回以下输出-
s = 1 -2
以下是上述计算的等效-
pkg load symbolic symbols x=sym("x"); y=2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; g=differentiate(y,x) roots([6, 6, -12])
执行代码并返回以下输出-
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g = -12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x ans = -2 1
这与我们的情节一致。因此,让我们在临界点x=1,-2处判断函数f。我们可以使用 subs 命令在符号函数中替换一个值。
subs(y, 1), subs(y, -2)
MATLAB执行代码并返回以下输出-
ans = 10 ans = 37
以下是上述计算的等效-
pkg load symbolic symbols x=sym("x"); y=2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; g=differentiate(y,x) roots([6, 6, -12]) subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)
ans = 10.0 ans = 37.0-4.6734207789940138748E-18*I
因此,函数f(x)= 2x 3 + 3x 2 - 12x + 17的最小值和最大值在间隔[-2,2]中为10和37。
MATLAB提供了 dsolve 命令,用于象征性地求解微分方程。
dsolve 命令用于查找单个方程式解的最基本形式是
dsolve('eqn')
其中 eqn 是用于输入方程式的文本字符串。
它返回带有一组任意常量的符号解,MATLAB将其标签为C1,C2等。
您还可以指定问题的初始条件和边界条件,作为等式后的逗号分隔列表-
dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)
为了使用dsolve命令,导数用D表示。例如,将方程f'(t)= -2 * f + cost(t)输入为-
'Df=-2 * f + cos(t)'
高阶导数由D后面的导数顺序表示。
例如,方程f"(x)+ 2f'(x)= 5sin3x应输入为- 'D2y + 2Dy=5 * sin(3 * x)'
让我们举一个简单的一阶微分方程示示例:y'= 5y。
s=dsolve('Dy=5*y')
MATLAB执行代码并返回以下输出-
s = C2*exp(5*t)
让我们拿一个二阶微分方程的另一个例子为:y"-y=0,y(0)= -1,y'(0)= 2。
dsolve('D2y - y=0','y(0)=-1','Dy(0)=2')
MATLAB执行代码并返回以下输出-
ans = exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2
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